ATAWIマイナス

第10章 ／全13章

反対の、反対

(−2)×3=?

かけ算は、同じ動きのくり返しから。

(−2)×3マイナスのほうへ2を3回くり返して−6に着く。−7−6−5−4−3−2−101−2−2−2
  1. −2 を1つ。
  2. もう1つ。
  3. もう1つ。−2 が3つ分で −6。

(−2)×3=(−2)+(−2)+(−2)=−6

かけ算の表を、のばしてみよう

かける数を 3, 2, 1, 0 と1ずつ小さくしていく。答えはどう変わる？ 1行ずつ見て、最後の行を予想しよう。

  1. (−2)×3=−6
  2. (−2)×2=−4
  3. (−2)×1=−2
  4. (−2)×0=0
  5. (−2)×(−1)=?

    予想表の続き。(−2)×(−1) は？

表の答えは、かける数が1へるごとに2ずつふえていく。その続きが (−2)×(−1)。

−1 をかけると？

(−1)×3=−3。−1 が3つ分で −3（かける順番を入れかえても同じなので 3×(−1)=−3）。3 に −1 をかけると、3 の反対の数になる。

表では (−2)×(−1)=2 だった。−2 に −1 をかけても、反対の数 2 になっている。−1 をかけると、負の数も反対の数になるんだ。

では、3 に −1 をかけて −3、それにもう一度 −1 をかけたら？

×(−1) を2回3に−1をかけると反対の数−3。もう一度−1をかけると、反対の反対で3にもどる。−4−3−2−101234×(−1)×(−1)
  1. ×(−1)：反対の数にする。3 は −3 へ。
  2. もう一度、反対に。−3 は 3 へ。もとにもどった。

予想もう一度 ×(−1) すると？

(−1)×(−1)=1

発見反対の、反対は、もとにもどる。

(−2)×(−3) は？

×(−3) は、×3 をしてから、反対にすること（×(−1)）。

(−2)×(−3)(−2)×3は−6。×(−3)は、×3をしてから反対にすることなので、−6の反対の6になる。−6−4−20246(−2)×3反対
  1. (−2)×3 は、−2 が3つ分で −6。
  2. ×(−3) は、×3 をしてから反対にすること。−6 の反対は 6。

予想(−2)×(−3) はどこ？

(−2)×(−3)=6

符号のきまりに、名前をつける

かける2つの数答えの符号例
同じ符号＋（正）2×3=6　(−2)×(−3)=6
ちがう符号−（負）(−2)×3=−6　2×(−3)=−6

答えの大きさ（絶対値）は、2つの絶対値の積。

やってみよう

予想(−3)×4 は？

予想(−3)×(−4) は？

どう考えた？

(−1)×(−1)＝1 になる理由を、表か「反対の反対」を使って説明しよう。

説明の例を見る

(−1)×2＝−2、(−1)×1＝−1、(−1)×0＝0 と、かける数が1へると答えが1ふえる。だから (−1)×(−1)＝1。または、−1 をかけると反対の数になるので、−1 の反対の 1 になる。

数学ではどう考える？

分配法則 a×(b+c)=a×b+a×c が負の数でも成り立つとすると、

0=(−1)×0=(−1)×(1+(−1))

(−1)×(1+(−1))=(−1)×1+(−1)×(−1)

だから、−1 ＋ (−1)×(−1) ＝ 0。たすと0になるので、(−1)×(−1) は −1 の反対の数、つまり (−1)×(−1)=1。

また (−1)×a=−a（−1 をかけると反対の数）。これを使うと (−2)×(−3)=(−1)×2×(−1)×3=(−1)×(−1)×2×3=6。

数直線で向きを反対にする動きは、この計算を目で見えるようにした直感のモデル。証明そのものは、この分配法則の計算。

この章で、できるようになったこと

  • 負の数のかけ算ができる
  • (−)×(−) が正になる理由を、表または「反対の反対」で説明できる